Մաթեմաթիկական ապացոյց

Մաթեմաթիկական ապացոյցը մաթեմաթիկական պնդման համար տրամաբանական փաստարկ է, որ ցուց կու տայ, որ նշուած դատողութիւնները տրամաբանօրէն կ'երաշխաւորեն եզրակացութիւնը: Փաստարկը կարելի է օգտագործել նախկին դուրս բերուած այլ պնդումներ, ինչպիսիք օրէնքներն են, սակայն իւրաքանչիւր ապացոյց սկզբունքօրէն կարելի է կառուցուիլ՝ օգտագործելով միայն որոշ հիմնական կամ նախնական ենթադրութիւններ, որոնք յայտնի են որպէս աքսիոմներ,^[2]^[3]^[4] մտայանգման ընդունելի կանոններով։ Ապացոյցները ողջամիտ ակնկալիքը հաստատող, սպառիչ (deductive) հիմնաւորման օրինակներ են, որոնք տրամաբանական որոշակիութիւն կը ստեղծեն, որոնք կը տարբերին (empiric) փորձական փաստարկներէն կամ ոչ սպառիչ մակածութիւնը՝ (induction) պատճառաբանութենէն։ Չհաստատուած ենթադրութիւնը, որու վերաբերեալ կարծիք կայ, որ ճիշդ է, յայտնի է որպէս վարկած, կամ ենթադրութիւն (hypothesis), յետագայ մաթեմաթիկական մտայանգումներուն համար, յաճախ կ'օգտագործուի որպէս ենթադրութիւն^[5]։

Ապացոյցները, բնական լեզուի հետ մէկտեղ, որոնք սովորաբար երկիմաստութիւն կը պարունակեն, կ'օգտագործեն որոշակի տրամաբանութիւն արտայայտող մաթեմաթիկական սիմպոլներ։ Ապացոյցներու տեսութեան մէջ կը դիտարկուին առանց բնական լեզուի օգտագործման, սիմպոլիկ լեզուով գրուած, լիովին ֆորմալ ապացոյցները։ Ֆորմալ եւ ոչ ֆորմալ ապացոյցներու տարբերութիւնը բերած է ընթացիկ եւ պատմական մաթեմաթիկական փորձառութեան քննութեան՝ քվազի-էմփիքրիզմին մաթեմաթիկայի մէջ եւ այսպէս կոչուած ժողովրդական մաթեմաթիկային, հիմնական մաթեմաթիկան հանրութեան եւ այլ մշակոյթներու մէջ բանաւոր աւանդոյթներուն։

Մաթեմատիկայի փիլիսոփայությունը կապուած է ապացոյցներու մէջ լեզուի եւ տրամաբանութեան դերին եւ մաթեմաթիկային որպէս լեզու։

Պատմութիւն եւ ստուգաբանութիւն

Տե՛ս նաեւ՝ History of logic «Վստահութիւն» իրաւական թերմինը կը նշանակէ հեղինակութիւն կամ հաւաստիութիւն՝ փաստեր ապացուցելու համար, հեղինակութիւն կամ կարգավիճակ ունեցող անձերու կողմէ տրուած վկայութեան ուժ:^[6]

Խիստ մաթեմաթիկական ապացոյցներուն նախորդեր են նմանութեան փաստարկները, ինչպիսիք են նկարները եւ նմանները (analogic)։^[7] Հաւանաբար, եզրակացութեան գաղափարը առաջացեր է երկրաչափութեան հետ կապուած, որ ծագեր է հողերու չափման գործնական խնդիրներէն։^[8] Մաթեմաթիկական ապացոյցի զարգացումը առաջին հերթին հին յունական մաթեմաթիկայի արգասիքն է եւ անոր ամէնամեծ նուաճումներէն մէկը։^[9] Թալեսը (Ք.Ա. 624–546) եւ Հիփոքրաթ Քիոսը (Hippocrates of Chios) (Ք.Ա. 470–410) տուին երկրաչափութեան օրէնքներու առաջին յայտնի ապացոյցները: Եւտոքսը (Ք.Ա. 408–355) եւ Թեետետոսը (Ք.Ա.. 417–369) ձեւակերպեր են օրէնքներ, բայց ատոնք չեն ապացուցեր: Արիսթոթելը (Ք.Ա. 384–322) կ'ըսէր, որ սահմանումները պէտք է նկարագրեն հասկացութիւնը, որ կը սահմանէ արդէն յայտնի միւս հասկացութիւններու միջոցով:

Մաթեմաթիկական ապացոյցը յեղափոխականացուեցաւ Էվկլիդեսի կողմէ (Ք.Ա․300), որ մտցուց աքսիոմաթիկ մեթոտ, որ մինչեւ այսօր կ'օգտագործուի։ Այն կը սկսի չսահմանուած հասկացութիւններէն եւ աքսիոմներէն, կ'ենթադրուի որ չսահմանուած թերմինները ինքնին ակնյայտ է որ ճիշդ են (յունարէն "axios", ինչ որ արժէքաւոր բան)։ Այս հիմքի վրայ մեթոտը օրէնքները կ'ապացուցէ օգտագործելով deductive նուազեցման տրամաբանութիւն։ Էւկլիտեսի «Տարրեր» գիրքը մինչեւ 20-րդ դար կը կարդար իւրաքանչիւրը, որ կը համարուէր կրթուած։^[10] Ի յաւելումն երկրաչափական օրէնքներու, ինչպիսին Փիւթակորի օրէնքն է, Տարրերը նաեւ կը ծածկէր թիւերու տեսութիւնը, ներառեալ, որ քառակուսի արմատ երկուքէն իռացիոնալ է եւ ապացոյցը այն բանի, որ պարզ թիւերու քանակը անվերջ է։

Յետագայ առաջընթացներ տեղի ունեցան միջնադարեան իսլամական մաթեմաթիկայի մէջ։ Մինչ վաղ յունական ապացոյցները գլխաւորաբար կը կրէին երկրաչափական ցուցադրութիւններ, մահմետական մաթեմաթիկոսներու կողմէ թուաբանութեան եւ հանրահաշիւի զարգացումը աւելի ընդհանուր ապացոյցներ կ'օգտագործէին, անկախ երկրաչափական մտատեսութենէն (intuition)։ 10-րդ դարու Իրաքեան մաթեմաթիկոս Al-Hashimi-ն թիւերու հետ կ'աշխատէր որպէս շարքեր եւ հանրահաշուական գործողութիւններ պարունակող առաջադրանքները, ներառեալ անտրամաբանական թիւերու գոյութիւնը, ապացուցելու համար, անպայման չէ երկրաչափական առարկաներու չափումներ կատարել։^[11] Ալ-Ֆաղրիի մէջ (1000) Ալ-Քարաճին մակածութեան (induction) մեթոտը օգտագործեց թուաբանական յառաջատուութեան համար։ Ան զայն օգտագործեց նաեւ (binomial theorem) երկրաբաշխական օրէնքը ապացուցելու եւ Փասքալի եռանկեան յատկութիւններուն համար։ Ալ Հազենը ապացուցման եղանակները զարգացուց "հակառակ ենթադրութենէն ապացոյցով", որպէս առաջին փորձ կիրառելով զայն եւկլիտեան (Euclidian) երկրաչափութեան զուգահեռութեան առաջադրութիւնը կամ ենթադրութիւնը (postulate) ապացուցելու համար։^[12]

Ժամանակակից ապացոյցներու տեսութիւնը ապացոյցները կը դիտարկէ որպէս մակածութեան (induction) սահմանուած տուեալներու կառուցուածք, որոնք չեն պահանջեր աքսիոմներու ճշմարիտ ըլլալը որեւէ իմաստով։ Այս թոյլ կու տայ զուգահեռ օգտագործել զուգահեռ մաթեմաթիկական տեսութիւններ որպէս տուած մտատեսութիւն (intuition) հասկացութեան ֆորմալ մոտելներ, որոնք հիմնուած են աքսիոմաներու (alternative) փոխընտրութիւն բազմութեան վրայ, օրինակ, բազմութիւններու աքսիոմաթիկ տեսութիւն եւ Ոչ-եւկլիտեան (Euclidian) երկրաչափութիւն։

Էութիւն եւ նպատակ

Գործնականի ապացոյցը կ'արտայայտուի բնական լեզուով եւ պնդման ճշմարտութեան մէջ համոզելու համար խիստ փաստարկ է։ Խստութեան չափանիշը standard չէ եւ պատմութեան ընթացքին փոփոխութիւններու ենթարկուեր է։ Կախուած ենթադրուող լսարանէն, ապացոյց տարբեր կերպ կարող է ներկայացուիլ։ Որպէսզի լսարանին կողմէ ապացոյցն ընդունուի, անիկա պէտք է համապատասխանէ խստութեան ընդունուած չափանիշներուն, անորոշ կամ ոչ լրիւ փաստարկները հնարաւոր է մերժուին։

Ապացոյց հասկացութիւնը ձեւաւորուեր է մաթեմաթիկական տրամաբանութեան ոլորտին մէջ։ ^[13] Ֆորմալ ապացոյցը կը գրուի ֆորմալ լեզուով։ Ֆորմալ ապացոյցը այդ ֆորմալ լեզուով գրուած բանաձեւերու յաջորդականութիւնն է, որ կը սկսի ենթադրութենէն եւ իւրաքանչիւր յաջորդ բանաձեւը նախորդներու տրամաբանական հետեւութիւնն է։ Այս սահմանումը ապացոյցը կը դարձնէ ուսումնասիրութեան առարկայ: Իսկապէս, ապացոյցներու տեսութեան ոլորտը կ'ուսումնասիրէ ձեւական ապացոյցները եւ ատոնց յատկութիւնները, որոնցմէ ամէնայայտնի եւ զարմանալին այն է, որ համարեայ բոլոր աքսիոմաթիք համակարգերը կարող են առաջացնել որոշակի չհիմնաւորուած պնդումներ, որոնք համակարգէն ներս ապացուցելի չեն:

Ֆորմալ ապացոյցի սահմանումը նպատակ ունի ընդգրկել ապացոյցներու հայեցակարգը այնպէս, ինչպէս ընդունուած է մաթեմաթիքայի (practice) կիրառութեան մէջ: Այս սահմանման հիմնաւորումը կ'ենթադրէ, որ հրապարակուած ապացոյցը սկզբունքօրէն կարող է վերաձեւակերպուիլ ֆորմալ ապացոյցի։ Սակայն բացի ինքնագործ (automatic) ապացոյցի օգնականի կիրառումէն, այս (practice) կիրառութիւնը հազուադէպ կը հանդիպի։ Փիլիսոփայութեան դասական հարցն է՝ մաթեմաթիկական ապացոյցները արդեօք վերլուծակա՞ն են, թէ (synthetic) համադրական կամ բաղադրական: Քանթը, որ մտցուց վերլուծական-համադրական (analytic)-(synthetic) տարբերութիւնը, կը կարծէր, որ մաթեմաթիկական ապացոյցները (synthetic) համադրական են, մինչդեռ Քուէնը 1951 թուականին իր «Էմփիրիզմի երկու տոկմա» աշխատութեան մէջ կը պնդէր, որ այդպիսի տարբերակումը անթոյլատրելի է։^[14]

Ապացոյցները կարող են հիացնել իրենց մաթեմաթիկական գեղեցկութեամբ։ Մաթեմաթիկոս Փոլ Էրտիոսը յայտնի էր յատկապես էլեկանթ ապացոյցները նկարագրելու համար, որ կը վերցնէր վարկածական կամ ենթադրական (hypothetic) "The Book" հատորէն, որ իւրաքանչիւր օրէնքի (theorem) ամէնագեղեցիկ ապացոյցը կը պարունակէր։ Proofs from THE BOOK գիրքը հրապարակուեր է 2003 թուականին եւ նուիրուած է 32 ապացոյցներու ներկայացման, որոնք անոնց խմբագիրները յատկապես գեղեցիկ կը համարեն:

Մեթոտներ

Ուղիղ ապացոյց

Ուղիղ ապացոյցին մէջ եզրակացութիւնը դուրս կը բերէ տրամաբանօրէն զուգակցելով աքսիոմները, սահմանումները եւ վաղ օրէնքները։^[15] Օրինակ, ուղիղ ապացոյցը կարող է օգտագործուիլ ապացուցելու որ երկու զոյգ թիւերու գումարը միշտ զոյգ է։

Ենթադրենք x եւ y զոյգ թիւեր են։ Քանի որ անոնք զոյգ են, ապա կարող են ներկայացուիլ x = 2a եւ y = 2b, ուր a եւ b ամբողջ թիւեր են։ Ուստի x + y = 2a + 2b = 2(a+b). Այսպիսով x+y ունի 2 գործակից եւ ըստ սահմանման զոյգ է։ Հետեւաբար երկու զոյգ թիւերու գումարը զոյգ է։ Այս ապացոյցը կ'օգտագործէ զոյգ թիւերու սահմանումը, գումարման, բազմապատկման եւ բաշխելիութեան նկատմամբ ամբողջ թիւերու բազմութեան փակ ըլլալը։

Ապացոյց մաթեմաթիկական մակածութեանի (induction) միջոցով

Հիմնական յօդուած՝ Մաթեմաթիկական մակածութիւն (induction)

Հակառակ անուանումին, մաթեմաթիկական մակածութիւնը (induction) deduction մեթոտ է, ոչ թէ մակածութեան (induction) մտայանգման ձեւ։ Մաթեմաթիկական մակածութեանի (induction) միջոցով կ'ապացուցուին "եզակի դէպքը" կ'ապացուցուի եւ "մակածութեան (induction) կանոնը", որ կը հաստատէ իւրաքանչիւր պատահական դէպքի իրաւացիութիւնը կ'ենթադրէ յաջորդի իրաւացիութիւնը։ Քանի որ մակածութեան (induction) կանոնը կարելի է կիրառել բազմակի, ուստի բոլոր անվերջ դէպքերը ապացուցելի են։^[16] Այսպիսով կը խուսափինք իւրաքանչիւր դէպքն առանձին ապացուցելու անհրաժեշտութենէն։ Մաթեմաթիկական մակածութեան (induction) տարբերակ է անվերջ նուազման եղանակով ապացոյցը, որ կարող է օգտագործուիլ, օրինակ, երկուքի քառակուսի արմատի (irrationalism) անտրամաբանական տեսութիւնը ապացուցելու համար։^[5]

Մաթեմաթիկական մակածութեան (induction) միջոցով ապացոյցի յաճախ հանդիպող կիրառումը այն է՝ ապացուցել, որեւէ բնական թիւի համար յայտնի որեւէ յատկութիւն, ճշմարիտ է նաեւ բոլոր բնական թիւերու համար։ Թիւի մը^[17] ենթադրենք $N = {1,2,3,4,...$ } բնական թիւերու բազմութիւն է, եւ $P (n)$ մաթեմաթիկական կը պնդէ, որ տեղի ունի $n$ բնական թիւի համար $N$ բազմութենէն, այնպէս որ such that

(i) $P (1)$ ճիշդ է, այսինքն, $P (n)$ ճիշտ է $n = 1$ -ի համար։
(ii) $P (n +1)$ ճիշդ է, երբ $P (n)$ ճիշտ է, այսինքն, $P (n)$ ճիշդ ըլլալէն հետեւութիւն կ'ընենք, որ $P (n +1)$ ճիշդ է։
Ապա $P (n)$ ճիշդ է բոլոր բնական թիւերու համար $n$ ։

Օրինակ, մենք մակածութեամբ (induction) կարող ենք ապացուցել, որ $2 n - 1$ տեսքի բոլոր դրական ամբողջ թիւերը կենտ են։

Ենթադրենք

P (n)

կը ներկայացուի այս տեսքով "

2 n - 1

կենտ է":

(i)

n = 1

-ի համար,

2 n - 1 = 2(1) - 1 = 1

, և

1

կենտ է, քանի որ այն

2

-ի բաժանելով

1

մնացորդ կու տայ։ Այսպիսով

P (1)

-ը ճիշդ է։

(ii) որեւէ

n

-ի համար, եթէ

2 n - 1

-ը կենտ է (

P (n)

), ապա

(2 n - 1) + 2

նոյնպէս պէտք է կենտ ըլլայ, կենտ թիւին

2

գումարելով, կը ստանանք կենտ թիւ։ Սակայն

(2 n - 1) + 2 = 2 n + 1 = 2(n +1) - 1

, ուստի

2(n +1) - 1

կենտ է (

P (n +1)

). So

P (n)

implies

P (n +1)

.

Այսպիսով

2 n - 1

-ը կենտ է բոլոր

n

դրական ամբողջ թիւերու համար։

Յաճախ "մաթեմաթիկական մակածութեան (induction) միջոցով ապացոյց" արտայայտութեան փոխարէն կ'օգտագործուի աւելի կարճ "մակածութեան միջոցով ապացոյց" արտայայտութիւնը։^[18]

Ծանօթագրութիւններ

↑ Bill Casselman։ «One of the Oldest Extant Diagrams from Euclid»։ University of British Columbia։ արտագրուած է՝ September 26, 2008
↑ Clapham, C. & Nicholson, JN.։ The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Fourth edition։ «A statement whose truth is either to be taken as self-evident or to be assumed. Certain areas of mathematics involve choosing a set of axioms and discovering what results can be derived from them, providing proofs for the theorems that are obtained.»
↑ Cupillari Antonella (2005) [2001]։ The Nuts and Bolts of Proofs: An Introduction to Mathematical Proofs (Third հրտրկթն․)։ Academic Press։ էջ 3։ ISBN 978-0-12-088509-1
↑ Gossett Eric (July 2009)։ Discrete Mathematics with Proof։ John Wiley & Sons։ էջ 86։ ISBN 978-0470457931։ «Definition 3.1. Proof: An Informal Definition»
↑ ^5,0 ^5,1 «The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon»։ Math Vault (en-US)։ 2019-08-01։ արտագրուած է՝ 2019-10-20
↑ Hacking Ian (1984) [1975]։ The Emergence of Probability: A Philosophical Study of Early Ideas about Probability, Induction and Statistical Inference։ Cambridge University Press։ ISBN 978-0-521-31803-7
↑ The History and Concept of Mathematical Proof, Steven G. Krantz. 1. February 5, 2007
↑ Kneale William, Kneale Martha (May 1985) [1962]։ The development of logic (New հրտրկթն․)։ Oxford University Press։ էջ 3։ ISBN 978-0-19-824773-9
↑ Moutsios-Rentzos Andreas, Spyrou Panagiotis (February 2015)։ «The genesis of proof in ancient Greece The pedagogical implications of a Husserlian reading»։ Archive ouverte HAL։ արտագրուած է՝ October 20, 2019
↑ Eves Howard W. (January 1990) [1962]։ An Introduction to the History of Mathematics (Saunders Series) (6th հրտրկթն․)։ Brooks/Cole։ էջ 141։ ISBN 978-0030295584։ «No work, except The Bible, has been more widely used...»
↑ Matvievskaya, Galina (1987), «The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics», Annals of the New York Academy of Sciences 500 (1): 253–77 [260], doi:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x
↑ Eder, Michelle (2000), Views of Euclid's Parallel Postulate in Ancient Greece and in Medieval Islam, Rutgers University, http://www.math.rutgers.edu/~cherlin/History/Papers2000/eder.html, վերցված է January 23, 2008
↑ Buss, Samuel R. (1998), «An introduction to proof theory», in Buss, Samuel R., Handbook of Proof Theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 137, Elsevier, pp. 1–78, ISBN 978-0-08-053318-6 . See in particular p. 3: "The study of Proof Theory is traditionally motivated by the problem of formalizing mathematical proofs; the original formulation of first-order logic by Frege [1879] was the first successful step in this direction."
↑ Quine Willard Van Orman (1961)։ «Two Dogmas of Empiricism»։ Universität Zürich — Theologische Fakultät։ էջ 12։ արտագրուած է՝ October 20, 2019
↑ Cupillari, p. 20.
↑ Cupillari, p. 46.
↑ Examples of simple proofs by mathematical induction for all natural numbers
↑ Proof by induction Archived February 18, 2012, at the Wayback Machine., University of Warwick Glossary of Mathematical Terminology

[1] Bill Casselman։ «One of the Oldest Extant Diagrams from Euclid»։ University of British Columbia։ արտագրուած է՝ September 26, 2008

[2] Clapham, C. & Nicholson, JN.։ The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Fourth edition։ «A statement whose truth is either to be taken as self-evident or to be assumed. Certain areas of mathematics involve choosing a set of axioms and discovering what results can be derived from them, providing proofs for the theorems that are obtained.»

[nutsandbolts-3] Cupillari Antonella (2005) [2001]։ The Nuts and Bolts of Proofs: An Introduction to Mathematical Proofs (Third հրտրկթն․)։ Academic Press։ էջ 3։ ISBN 978-0-12-088509-1

[4] Gossett Eric (July 2009)։ Discrete Mathematics with Proof։ John Wiley & Sons։ էջ 86։ ISBN 978-0470457931։ «Definition 3.1. Proof: An Informal Definition»

[:0-5] 5,0 ^5,1 «The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon»։ Math Vault (en-US)։ 2019-08-01։ արտագրուած է՝ 2019-10-20

[6] Hacking Ian (1984) [1975]։ The Emergence of Probability: A Philosophical Study of Early Ideas about Probability, Induction and Statistical Inference։ Cambridge University Press։ ISBN 978-0-521-31803-7

[Krantz-7] The History and Concept of Mathematical Proof, Steven G. Krantz. 1. February 5, 2007

[8] Kneale William, Kneale Martha (May 1985) [1962]։ The development of logic (New հրտրկթն․)։ Oxford University Press։ էջ 3։ ISBN 978-0-19-824773-9

[9] Moutsios-Rentzos Andreas, Spyrou Panagiotis (February 2015)։ «The genesis of proof in ancient Greece The pedagogical implications of a Husserlian reading»։ Archive ouverte HAL։ արտագրուած է՝ October 20, 2019

[10] Eves Howard W. (January 1990) [1962]։ An Introduction to the History of Mathematics (Saunders Series) (6th հրտրկթն․)։ Brooks/Cole։ էջ 141։ ISBN 978-0030295584։ «No work, except The Bible, has been more widely used...»

[11] Matvievskaya, Galina (1987), «The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics», Annals of the New York Academy of Sciences 500 (1): 253–77 [260], doi:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x

[12] Eder, Michelle (2000), Views of Euclid's Parallel Postulate in Ancient Greece and in Medieval Islam, Rutgers University, http://www.math.rutgers.edu/~cherlin/History/Papers2000/eder.html, վերցված է January 23, 2008

[13] Buss, Samuel R. (1998), «An introduction to proof theory», in Buss, Samuel R., Handbook of Proof Theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 137, Elsevier, pp. 1–78, ISBN 978-0-08-053318-6 . See in particular p. 3: "The study of Proof Theory is traditionally motivated by the problem of formalizing mathematical proofs; the original formulation of first-order logic by Frege [1879] was the first successful step in this direction."

[14] Quine Willard Van Orman (1961)։ «Two Dogmas of Empiricism»։ Universität Zürich — Theologische Fakultät։ էջ 12։ արտագրուած է՝ October 20, 2019

[15] Cupillari, p. 20.

[16] Cupillari, p. 46.

[17] Examples of simple proofs by mathematical induction for all natural numbers

[18] Proof by induction Archived February 18, 2012, at the Wayback Machine., University of Warwick Glossary of Mathematical Terminology

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]