Տարբերական հաւասարումներ

Մաթեմաթիքայի մէջ տարբերական հաւասարումը հաւասարութիւն է, որը կը վերաբերի մէկ կամ քանի մը գործառնութիւններուն կամ կախարկութիւններուն եւ ատոնց ածանցեալներուն:^[1] Կիրառութիւններու մէջ գործառնութիւնները գլխաւորապէս կը ներկայացնեն ֆիզիքական մեծութիւններ, ածանցեալները կը ներկայացնեն փոփոխման արագութիւնը եւ տարբերական հաւասարումը կը սահմանէ երկուքին միջեւ յարաբերութիւնները։ Քանի որ այդպիսի յարաբերութիւնները չափազանց տարածուած են, այդ է պատճառը, որ տարբերական հաւասարումները կարեւոր դեր կը խաղան բազմաթիւ բնագաւառներուն մէջ՝ ներառեալ ճարտարագիտութիւն, ֆիզիքա, տնտեսագիտութիւն եւ կենսաբանութիւն: Տարբերական հաւասարման կարգ կը կոչուի տուեալ հաւասարման մէջ մասնակցող ածանցեալներու ամենաբարձր կարգը:

Տարբերական հաւասարումներու ուսումնասիրութիւնը գլխաւորապէս բաղկացած է ատոնց լուծումներու ուսումնասիրութիւնէն (հաւասարմանը բաւարարող գործառնութիւններու բազմութիւնը), եւ ատոնց լուծումներու յատկութիւնները։ Միայն պարզագոյն բանաձեւերն են լուծելի որոշակի բանաձեւերով։ Այնուամենայնիւ տուած հաւասարման լուծումներու շատ յատկութիւններ կարող են որոշուիլ, առանց ատոնք ճշգրիտ հաշուարկելու։ Եթէ լուծումներու համար վերջնական արտայայտութեան ձեւը անիրականալի է, ապա լուծումները կարող են թուային դարձնել կամ մօտեցնել համակարգիչներու օգնութեամբ։ Տինամիք համակարգերու տեսութիւնը շեշտը կը դնէ տարբերական հաւասարումներով նկարագրուած համակարգերու որակական վերլուծութեան վրայ, մինչդեռ մշակուեր են բազմաթիւ թուային մեթոտներ՝ տուեալ ճշգրտութեամբ լուծումներ գտնելու համար:

Պատմութիւն

Տարբերական հաւասարումները առաջին անգամ ի յայտ եկան Իսահակ Նիւթոնի եւ Լայպնից Գոթֆրիտ կողմէն հաշուարկներու կիրառման հետ։ Իր 1671 թուականին գրած «Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum» բաժնի 2-րդ գլխուն մէջ Իսահակ Նիւթոնը թուարկեր է երեք տիպի Տարբերական հաւասարումներ։^[2]

{\begin{aligned}&{\frac {dy}{dx}}=f(x)\\[5pt]&{\frac {dy}{dx}}=f(x,y)\\[5pt]&x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}=y\end{aligned}}

Այս բոլոր հաւասարումներուն մէջ, $y$ -ը անյայտ գործառնութիւն է $x$ -էն (կամ $x_{1}$ եւ $x_{2}$ -էն), իսկ $f$ -ը տուած գործառնութիւն է։

Այս եւ այլ օրինակներ ան կը լուծէ օգտագործելով անվերջ շարքեր եւ քննարկում լուծումներու ոչ եզակիութիւնը։

1695 թուականին Պերնուլին առաջարկեց Պերնուլիի Տարբերական հաւասարումը։^[3] Այն սովորական Տարբերական հաւասարում է՝

y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,

այն պարզեցնելով Լայպնիցը յաջորդ տարի գտաւ լուծումները։f^[4]

Պատմականօրէն, երաժշտական գործիքի թրթռացող լարի խնդիրը ուսումնասիրուեր է Ժան Լը Ռոն Դ’Ալամբերի, Լեոնարդ Էյլերի, Դանիել Բեռնուլիի եւ Ժոզեֆ Լուի Լագրանժի կողմէն։^[5]^[6]^[7]^[8] 1746 թուականին, Տ'Ալամպերը յայտնաբերեց միաչափ ալիքային հաւասարումը, եւ տաս տարի անց Էյլերը յայտնաբերեց եռաչափ ալիքային հաւասարումը։^[9]

Էյլեր-Լակրանժի բանաձեւը մշակուեր է 1750-ականներին Էյլերի եւ Լակրանժի կողմէն, երբ անոնք կ'ուսումնասիրէին (Tautochrone) զուգամանակութեան խնդիրը։ Սա այն կորի որոշումն է, որ կշռուած մասնիկը, անկախ սկզբնակէտէն, հաստատուած ժամանակահատուածի մէջ, հաստատուած կէտի մէջ կ'իյնայ։ Լակրանժը այս խնդիրը լուծեր է 1755 թուականին եւ լուծումը ուղարկեր Էյլերին։ Անոնք երկուքով հետագային զարգացուցին Լակրանժի մեթոտը եւ այն կիրառեցին մեքանագիտութեան (mechanics) մէջ, ինչը առաջ բերաւ եւ հասցուց Լակրանժեան մեքանագիտութեան ձեւակերպմանը։

1822 թուականին, Ֆուրիէն հրապարակեց ջերմութեան հոսքի վերաբերեալ իր աշխատանքը Théorie analytique de la chaleur (Ջերմութեան վերլուծական տեսութիւն),^[10] որուն մէջ ան Նիւթոնի սառեցման օրէնքի իր հիմնաւորումը տուաւ, այն է, որ ջերմութեան հոսքը երկու յարակից մասնիկներու (molecules) միջեւ, համամասն է անոնց ջերմաստիճանի ծայրայեղ փոքր տարբերութեանը: Այս գիրքին մէջ ներառուած է ջերմութեան հաղորդիչ տարածումի (diffusion) համար Ֆուրիէի ջերմահաղորդակցութեան հաւասարման առաջադրանքը։ Այս մասնակի Տարբերական հաւասարումը այժմ կը դասաւանդուի մաթեմաթիքական ֆիզիքա ուսումնասիրող իւրաքանչիւր ուսանողի։

Օրինակ

Դասական մեքանագիտութեան մէջ, մարմնի շարժումը կը նկարագրուի անոր դիրքով եւ ժամանակի ընթացքի մէջ անոր արագութեան փոփոխմամբ։ Նիւթոնի շարժման օրէնքները թոյլ կու տան այս փոփոխականները տինամիք արտայայտել (տուած դիրքը, արագութիւն, արագացում եւ մարմնի վրայ ազդող տարբեր ուժեր) Տարբերական հաւասարում, որը մարմնի անյայտ դիրքը կը ներկայացնէ որպէս ժամանակի գործառնութիւն։

Որոշ դէպքերուն, այս տարբերական հաւասարումը (շարժման հաւասարում) կարող է բացայայտ լուծում ունենալ։

Իրական աշխարհի խնդրի կաղապարման մէջ տարբերական հաւասարման օգտագործման օրինակը՝ կը ներկայացնէ օդի մէջ գնդակի անկման աարագութեան որոշումը, հաշուի առնելով միայն ծանրութիւնը եւ օդի դիմադրութիւնը: Գնդակի ծանրութեան ուժի արագացումը դէպի երկիր այդ ձգողականութեան ուժի արագացումն է հանած օդի դիմադրութեան ուժը։ Ձգողականութիւնը կը համարուի հաստատուն, իսկ օդի դիմադրութիւնը կարելի է կաղապարել որպէս գնդակի արագութեանը համեմատական։ Այս կը նշանակէ որ գնդակի արագացումը, ինչ որ անոր արագութեան ածանցեալն է, կախուած է արագութիւնէն (իսկ արագութիւնը կախուած է ժամանակէն)։ Արագութիւնը որպէս ժամանակի գործառնութիւն ներկայացնելը կը ներառէ դիֆերենցիալ տարբերական հաւասարման լուծման եւ անոր ստոյգ ըլլալուն։

Տեսակներ

Տարբերական հաւասարումներ կարելի է բաժնել քանի մը տեսակներու։ Բացի ինքնին տարբերական հաւասարման յատկութիւններու նկարագրութիւնէն, Տարբերական հաւասարումներու այս դասակարգումը կարող է օգնել լուծման ընտրութեան հարցի մէջ։ Սովորաբար օգտագործուող տարբերակներն են՝ սովորական/մասնակի, գծային/ոչ գծային եւ համասեռ/տարասեռ: Այս ցուցակը հեռու է սպառիչ ըլլալէն, կան Տարբերական հաւասարումներու շատ այլ յատկութիւններ եւ ենթադասեր, որոնք կարող են շատ օգտակար ըլլալ յատուկ բնագիրներուն մէջ։

Սովորական Տարբերական հաւասարումներ

Սովորական Տարբերական հաւասարումները, հաւասարումներ են, ուր անյայտները մէկ փոփոխականի գործառնութիւններ են, ընդ որում հաւասարման մէջ կը մասնակցին ոչ միայն անյայտ ֆունկցիաները այլեւ այդ գործառնութիւններու ածանցեալները։

Սովորական Տարբերական հաւասարման տեսքը ընդհանուր դէպքի մէջ հետեւեալն է՝

F\left(x,y,y',y'',...,y^{(n)}\right)=0\!

կամ

F\left(x,y,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}},{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}},...,{\frac {\mathrm {d} ^{n}y}{\mathrm {d} x^{n}}}\right)=0

,

որտեղ $~y=y(x)$ անյայտ գործառնութիւնն է, $~x$ անկախ փոփոխականը, $~n$ կը կոչուի տարբերական հաւասարման կարգ։

Սովորական Տարբերական հաւասարումներու առաջին հետազօտութիւնները կատարուեր են 17 դարու վերջաւորութեան Ի. Նյուտոնի եւ Գ. Լեյբնիցի կողմէն։

Սովորական Տարբերական հաւասարումները լայն կիրառական նշանակութիւն ունին մեքենագիտութեան մէջ, աստղագիտութեան, ֆիզիքայի մէջ, քիմիայի եւ կենսաբանութեան շատ խնդիրներու մէջ։ Այս կը բացատրուի այն բանով, որ շատ յաճախ բնական երեւոյթները կ'ենթարկուին օրէնքներու, որոնք կը գրուին սովորական տարբերական հաւասարումներու տեսքով։ Օրինակ, Նյուտոնյան մեքենագիտութեան օրէնքները թոյլ կու տան նիւթական կէտերու համակարգի շարժման նկարագրման մեքենական խնդիրը բերել սովորական տարբերական հաւասարման լուծումները գտնելու մաթեմաթիքական խնդրին։

Ծանօթագրութիւններ

↑ Dennis G. Zill (15 March 2012)։ A First Course in Differential Equations with Modeling Applications։ Cengage Learning։ ISBN 1-285-40110-7
↑ Newton, Isaac. (c.1671). Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (The Method of Fluxions and Infinite Series), published in 1736 [Opuscula, 1744, Vol. I. p. 66].
↑ Bernoulli, Jacob (1695), «Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis», Acta Eruditorum
↑ Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0
↑ Frasier Craig (July 1983)։ «Review of The evolution of dynamics, vibration theory from 1687 to 1742, by John T. Cannon and Sigalia Dostrovsky»։ Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society 9 (1)։ արխիւացուած է բնօրինակէն-էն՝ 2016-12-29-ին։ արտագրուած է՝ 2020-03-10
↑ Wheeler Gerard F., Crummett William P. (1987)։ «The Vibrating String Controversy»։ Am. J. Phys. 55 (1): 33–37։ Bibcode:1987AmJPh..55...33W։ doi:10.1119/1.15311
↑ For a special collection of the 9 groundbreaking papers by the three authors, see First Appearance of the wave equation: D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli. - the controversy about vibrating strings Archived 2020-02-09 at the Wayback Machine. (retrieved 13 Nov 2012). Herman HJ Lynge and Son.
↑ For de Lagrange's contributions to the acoustic wave equation, can consult Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications Allan D. Pierce, Acoustical Soc of America, 1989; page 18.(retrieved 9 Dec 2012)
↑ Speiser, David. Discovering the Principles of Mechanics 1600-1800, p. 191 (Basel: Birkhäuser, 2008).
↑ Fourier Joseph (1822)։ Théorie analytique de la chaleur (French)։ Paris: Firmin Didot Père et Fils։ OCLC 2688081

[Zill2012-1] Dennis G. Zill (15 March 2012)։ A First Course in Differential Equations with Modeling Applications։ Cengage Learning։ ISBN 1-285-40110-7

[2] Newton, Isaac. (c.1671). Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (The Method of Fluxions and Infinite Series), published in 1736 [Opuscula, 1744, Vol. I. p. 66].

[3] Bernoulli, Jacob (1695), «Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis», Acta Eruditorum

[4] Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0

[5] Frasier Craig (July 1983)։ «Review of The evolution of dynamics, vibration theory from 1687 to 1742, by John T. Cannon and Sigalia Dostrovsky»։ Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society 9 (1)։ արխիւացուած է բնօրինակէն-էն՝ 2016-12-29-ին։ արտագրուած է՝ 2020-03-10

[6] Wheeler Gerard F., Crummett William P. (1987)։ «The Vibrating String Controversy»։ Am. J. Phys. 55 (1): 33–37։ Bibcode:1987AmJPh..55...33W։ doi:10.1119/1.15311

[7] For a special collection of the 9 groundbreaking papers by the three authors, see First Appearance of the wave equation: D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli. - the controversy about vibrating strings Archived 2020-02-09 at the Wayback Machine. (retrieved 13 Nov 2012). Herman HJ Lynge and Son.

[8] For de Lagrange's contributions to the acoustic wave equation, can consult Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications Allan D. Pierce, Acoustical Soc of America, 1989; page 18.(retrieved 9 Dec 2012)

[Speiser-9] Speiser, David. Discovering the Principles of Mechanics 1600-1800, p. 191 (Basel: Birkhäuser, 2008).

[10] Fourier Joseph (1822)։ Théorie analytique de la chaleur (French)։ Paris: Firmin Didot Père et Fils։ OCLC 2688081

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]